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无界区域上Klein--Gordon方程的区域分解算法

归档日期:08-03       文本归类:域分解      文章编辑:爱尚语录

  学位论文独创性声明本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果.本论文中除引文外,所有实验、数据和有 关材料均是真实的.本论文中除引文和致谢的内容外,不包含其他人 或其它机构已经发表或撰写过的研究成果.其他同志对本研究所做的 贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意. 学位论文作者签名:阵障M 日期:切f垆.6.p 学位论文使用授权声明 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属南京师范大 学.学校有权保存本学位论文的电子和纸质文档,可以借阅或上网公 布本学位论文的部分或全部内容,可以采用影印、复印等手段保存、 汇编本学位论文.学校可以向国家有关机关或机构送交论文的电子和 纸质文档,允许论文被查阅和借阅. (保密论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释:本学位论文属于保密论文, 密级:——保 密期限为——年。 学位论文作者签名:F彳。l琶啊 指导教师签名: El 日期硕士学位论文 目录2014年2月 摘要………………………………………………………1 Abstract 前言………….……….…….…...……….…...…….….3第一章重叠型区域分解法…………………………………………5 1.1问题描述……一.………………………………………..5 1.2对时间的离散化………………………………………….5 1.3自然边界归化……………………………………………6 1.4 Schwarz交替算法………………………………………..7 1.5收敛性分析……………………………………………..9 1.6离散化及有限元处理……………………………………..1l 1.7数值例子……………………………………………….12 第二章非重叠型区域分解法………………………………………15 2.1 D~N交替算法…………………………………………..15 2.2离散化及迭代分析……………………………………….16 2.3数值例子……………………………………………….19 第三章结论与展望……………………………………………….22 参考文献 ………………………………………………………23 致谢………………………………………………………27 硕士学位论文Contents Abstract(in Chinesel Abstract(inEnglish) Chapter1Overlapping Domain Decomposition Method..........5 1.1 Statement problem....……………………………..51.2 Time discretization…….…………..……….….……….5 1.3 Natural boundary reduction……………………………….6 1.4 Schwarz alternating algorithm……………………………..7 1.5 Convergence analysis.……..………………….………….9 1.6 Diseretization FEMcomputation………………………11 1.7 Numerical experiments……………………………………12 Chapter 2Non-0verlapping Domain Decomposition Method…..15 2.1 D-N alternating algorithm………………………………..15 S2.2 Discretization iterationanalysis……….……….………16 S2.3 Numerical experiments….….…..……….………….……19 Chapter 3Conclusions FutureWorks……,……….………22 Bibliography ....…..…………..…….….……….….….……23 Acknowledgements ………..…...….….……….…....….…..27 硕士学位论文 摘要2014年2月 本文应用自然边界归化理论和区域分解思想,以Klein-Gordon方程为例, 研究其无界区域问题基于自然边界归化的区域分解算法. 第一章针对无界区域上Klein-Gordon方程,先用Newmark方法对时间进 行离散化,得到时间步长的离散化情形;然后利用自然边界归化原理,获得了问 题的自然积分方程与Poisson积分公式;在此基础上提出基于自然边界归化的 Schwarz交替算法,给出了该算法在能量模意义下的几何收敛性;最后给出数值 试验以示方法的可行性与有效性. 第二章针对无界区域上Klein-Gordon方程,提出了基于自然边界归化的D— N交替算法,给出了算法的收敛性,证明了D—N交替算法与预处理Richardson 迭代算法等价性,最后给出数值算例以示方法的可行性与有效性. 关键词:Klein-Gordon方程,Newmark方法,自然边界归化,Schwarz交 替算法,D—N交替算法. 硕士学位论文Abstract In thesis,bymeDxis naturalboundary reduction keyidea domaindecomposition method(DDM),we investigate domalndecomposition methods based naturalboundary reduction KleiI卜GordonEquation UnboundedDomaln. In firstchapter.the Klein-Gordon equation firstdiscretized Newmarkmethod,leading atime-steppingscheme.Secondlyby naturalboundary reduction,we obtain naturalintegral equa- tion Poissonintegral formula.Thirdlya Schwarz alternating algorithm based naturalboundary reduction suggested,thegeometric convergence energynorm.Finallysome numerical experiments method.In secondchapter.a Do叮alternating algorithm based 0n naturalboundary reduction Klein-Gordonequation suggested,theconvergence precon-ditioned Richardson iteration method.Finallysome numerical experiments method.Keywords:Klein-Gordon equation,Newmark method,Natural boundary reduction,Schwarz alternating algorithm,D—N alternating algorithm. 硬士学位论文 前言2014年2月 科学与工程计算中许多问题都可归化为无界区域上的偏微分方程初值(或 初边值)问题,数值求解无界区域问题有着极其重要的意义.但由于区域的无界 性,如果直接使用有限元法和有限差分法求解这些问题时往往会遇到一些困难, 为此,边界元方法[13,22-24,29-31,39,43]就应运而生, 边界元法是将区域内偏微分方程边值问题归化到边界上积分方程并用有限 元离散化技术求解的一种数值计算方法,其基础在于边界归化,不同的边界归化 可能导致不同的边界元法.二十世纪七十年代末,我国学者冯康教授和余德浩教 授首创并发展了自然边界元法[5,12,13,29-31,3驴41,43】,它是由Green函数和 Green公式出发,将微分方程边值问题归化为边界上的强奇异积分方程,然后化 成相应的变分形式在边界上离散化求解的一种数值计算方法.随着超奇异积分方 程的计算问题在二维领域中得到解决,自然边界元方法获得了极大的发展.余德 浩教授的专著f13]的出版,则是椭圆型问题自然边界元法趋于成熟的重要标志. 二十世纪八十年代初,区域分解算法逐渐崛起,它能将大型问题分解为小型 问题、复杂问题分解为简单问题、串行问题分解为并行问题,大大提高了问题的计 算效率.但这一方法对有界区域十分有效,如何将此法应用于求解无界区域问题, 余德浩教授于二十世纪九十年代中期首先提出了基于自然边界归化求解无界区域 的区域分解算法【14,15】,随后这方面的研究得到迅速发展[16,21,26—28,36—381. 基于自然边界归化的区域分解算法其基本思路是先引入人工边界,将无界 区域分解为一个有界区域Q1和一个典型的无界区域Q2,然后在这两个子区域 Q。和Q。交替求解相应的子问题,从而获得原问题的数值解.通常在有界子区域 Q1上使用有限元法,而在无界子区域Q2上使用自然边界元法.由于Ql通常取 得很小,所以使用有限元法求解Qt上的子问题时,计算量和存贮量均很小.另 外,在子区域Q2上使用自然边界元法求解相应的问题仅需在典型边界上进行简 单的计算.于是,原问题的规模变小,且可以并行求解.该方法已成功地应用于 求解许多无界区域问题. 硕士学位论文Klein-Gordon方程是瑞典理论物理学家奥斯卡 克莱因和德国的沃尔特 高登于二十世纪二、三十年代建立的具有相对论性的波动方程.它是量子力学和 量子场论中的最基本方程,用于描述自旋为零的粒子.对该方程的研究已经涉及 等离子物理、引力学、量子光学、固体物理、分子物理、量子化学等许多物理领 域.对于Klein—Gordon方程的外问题,韩厚德教授应用人工边界方法[6】对其 进行了研究,文献【6】6中是在时间连续的情况下进行研究的. 本文则是应用[14,15】的思想,研究无界区域上Klein—Gordon方程的区域 分解算法.对研究的问题,利用Newmark方法消去对时间t的导数项,得到半离 散化形式的一系列椭圆边值问题,即在每个时间层上求解Helmholtz方程的外问 题;由自然边界归化原理,获得求解每个时间层上的Helmholtz问题的Possion 积分公式和自然积分方程;基于此提出基于自然边界归化的Schwarz交替算法及 D-N交替算法,给出了Schwarz交替算法在能量模意义下的几何收敛性及D—N 交替算法的收敛性,同时证明了D—N交替算法与预处理Richardson迭代算法等 价.最后均给出相应的数值算例,以检验算法的可行性与有效性. 硕士学位论文 2014年2月 第一章 重叠型区域分解法 1.1问题描述 设r0为光滑的简单平面闭曲线,Q是以ro为内边界的外部区域.对任意 固定正实数T,记J:=(0,TI.考虑二维Klein-Gordon方程外Neumann问题: Vo(X)均为满足适当条件的已知函数,螽表示沿边界Fo的法向导数算子(n为Q的边界单位外法向量,指向ro所围成的区域内部),我们还假设函数u(,t)在 无穷远处有界. 1.2对时间的离散化 首先,我们应用Newmark方法将问题(1.1.1)对时间进行离散化,得到关 于时间的离散化格式(半离散化格式).为此,令为一正整数,7.为时间步长, W“(霉)=“能(z,tk).由Newmark方法可得伽‘+1一让‘+1+札。“=,‘+1, (1.2.1) 铭七十1=锃七+7-z知+去7-2{(1—2a)w七+20训七+1}, (1.2.2) A:幽,铲十一:“&+三丁z(1r2a)叫e, 硕士学位论文经过简单的代数运算可得 Au2+1一A2“=A2户+1, f1.2.41 叫1=高(u1一铲+1), (1.2.52) z‘+1=+1+7-pt£J。+1. (1.2.61 上述只是对(1.1.1)中的控制方程作时间离散,当然我们也必须同时对(1.1.1)中 的边界条件进行时间离散,再结合u(x,t)在无穷远处的有界性,我们可将离散 化问题的求解过程归结如下: I)预算值 铲+1=“。+7-+;7-2(1—2a)w‘, II)求解问题fum—A2札M=入2产+1, Izf_+。。.III)更新过程 T‘Ozzk+l:+1+7./3wk+1. (1.2.7) (1.2.8) (1.2.9) (1.2.10) (1.2.11) (1.2.12) 上述求解过程主要求解(1.2.10).在每一个时间层,我们首先利用(1.2.7)一(1.2.9) 预算出铲+1,+1,,‘“.其次,重点求解(1.2.10)得出“。+1,然后我们通过 (1.2.11),(1.2.12)为下一时问层求解更新"tO。+1,z6+1的值.重复上述过程,我们 可以得到每个时间层上的u2州,0危N一1. 1.3自然边界归化 我们假设Fo是以原点为圆心, R为半径的圆,ro在极坐标下即为ro= r=R,0[o,2丌】},而在ro上有未=一番.由自然边界归化理论,易得(1.2.10)的Poisson积分公式及自然积分方程: “‘+1(r,曰)=彭iu6+1(R,臼)+。尹(A,R;尹+1,r,秽),r>R, (1.3,1) 第一章 重叠型区域分解法 —Ou—k1+l焉(R—一e)+(A,R;尹+1,p)=形uk+l(R,口),(1.3.2) f伊1'。(盯)COSn9+露+1’5(盯)sin ne)]d盯, 露+1,。(盯)=妻Z2”尹+1(盯,口)c。sn口dp,n----O1... (1.3.7).僻“州COS7z-口+露+1声(盯)sinn秽)ld盯, (1.3.8)这里E。满足Eo=1;g-。=2,n>0. 1.4 Schwarz交替算法 选取F1与F2为以坐标原点为圆心、半径分别为R1与R2(0<R2<RI) 且包围Fo的同心圆周,将Q分为相互重叠的两个子区域:有界子区域Q Q2,Q】nQ2g,aQl=Fo uF】, 硕士学位论文Q2的内边界为F2.记 Q2=(@,y)f扛,y)Q,z2+Y2>R;}Q11=Ql fl砭,Q12=Ql nQ2, Q22=Q2 其中Q;表示Qt的补集,i=1,2.文II—nI n2图1.4.1 对问题(1.2.10)构造如下的Schwarz交替算法: 步1给定初始值乱1’(o){(r1),令po=u2k+1’(o’I rl’n=0. 步2在k+1层上,在Q1上求解 步3在k+1层上,在Q2上求解f“m+2)一入2u2k“,(2计2)-A2严1, {让2k十l’(2n+2)=":+l’(2仆+11, 【luFlI<+, 步4置pn+1=u:+12n-1-2)Irl,zr1. zQl, zFo zr1 oQ2, 茁r2, lzI_+ (1.4.2) 这里,初始步1,直接任取r1的函数值,不妨设乱尹11’Itl=0.接着步2,结合ro上已知的Neumann边界值,在Q1上可以用有限元方法求解初值问题 (1.4.1),得到区域Q1上的函数值“k1+1,(,进而得到r2上的函数值“:+1'(1’Ir:;结 合步3,在Q2上解边值问题(1_4.2),得到区域Q2上的函数值urL’,进而得到 r1上的函数值肛1=“!+1,【劭Ir,;最后,回到步2解边值问题(1.4.1),依次重复上 述过程,直到得到所要求的结果为止. 事实上,问题(1.4.2)不需要求解,因为解问题(1.4.1)时,只需要pn+1= 札:+1’(2时2’Irl值,而旷+1可由Possion积分公式(1.3.1)得到 矿“=lz2k+l(加+2’Ir。=f汐mu:+1}(2”+1’)+莎(入,R2;严“,r'口)I., 其中仇是r2上的迹算子. 第一章 重叠型区域分解法 9于是 1.5收敛性分析 为表述l司题方便起见,引入F列空间与记号: 膏(Q2)={uu日1(Qz)), Dn。(“,u)=/(Vu Vu+A2uv)dxdy, Dn。u,u)=/(Vu 矾+A2uv)dxdy, 凸(u,")=Dn(u,u)=/(Vu Vv-t-)\2uv)dxdy, (g,")=/gvds, fk-t-1")=一/A2严+1vdxdy. 问题(1.4.1)对应的变分形式为:求ukl+1,(2“+1)W,使得 uM,(1.5.1) 由La卜Milgr锄定理,易知变分问题(1.5.1)存在唯一解乱P1,(2时1)W. 由u2k+1’(2”’厅(Q2),U‘1+1’‘2”+1)H1(Q1),作延拓 札k。+l(2n-I-1)=fg-I-1(2n+’嚣 u。k-t-1(2nT2)=k-I-1(2nT2)噱篙. t上2k+1’‘2n+2’一“1k+1’‘2州’%问题(1.4.1)和问题(1.4.2)的变分问题分别为=0,1, (1.5.2)10‘ 硕士学位论文其中“1是问题(1.2.10)的解 (1.5.3)将与%作零延拓后,它们均可视为y的子空间.于是,由(1.5.2)及 (1.5.3)可得 fn(uP+1’一u1,u!“)=0,V":+1H, Iu’o叶11一“。哟 (1.5.4)(1.5.5) 设ev0=1,2)表示y到K按能量泛函Dn:( )的正交投影,则由(1.5.4)及(1.5.5)为 u1一u2k+1“2计2)=坼(“1一ukl+1“饥“’).I其中K上O=1,2)是K在V中的正交补空间.记误差为 etk+1,o)=u‘+l—u,J=0,1,…, 则(1.5.6)为 由(1.5.7)可以看出,若e。k+1’o’收敛,则必收敛于时n时.类似于文献[14】,[10】的证明方法,可得如下结论,其证明此处略去 引理1.5.1空间y,及%满足 引理1.5.2若y(1.5.6) (1.5.7) +K,则必存在正常数岛,使得对所有的uV成立 Pl矗七++膏nU归 第一章重叠型区域分解法 .11. F列不等式: IIt111G(0氏训i+0%u, 其中I|.f|-表示能量模 ̄/D,( 定理1.5.1(i).1i田IIe:+1’o’111=0,i:1,2;(ii)存在常数OL【0,1),使得 fl坼坼I|<OL,il坼气。ffn, 且瞄+1’1一1瞄+1’‘1’忆瞄+1’o’0laj瞒+1’(o’J=l,2 定理1.5.1表明上述Schwarz交替算法收敛,目.是几何收敛的. 1.6离散化及有限元处理 将Q1作正则三角形剖分,区间【0,27r]被分成N等份,相应地在圆周r1上 有个等分点.在对区域Q-进行有限元剖分时,让边界上的节点与等分点重 合,于是r1上有个节点.再假设Q1内和ro上分别有1+2个节点.对 所有节点按照rI,Ql,ro的次序进行编号.记A矗=N-4-l,M=蛆+N2,相 应的有限元剖分记为Q h.于是,可得到如下离散的Schwarz交替算法 步1给定初始值u象1,(o)日{(r,),并令 步2在k+1层上,在Ql^上求解问题: {}Ouk+l(2n+i)利“,【‰k+1(2n+1)=u@…, 步3利用Poisson积分公式计算 zQ1h,zFoh zFlh u‘2枷’(‘口)=u‘2n+1’(嘞,臼)+莎(A,R2;ff~+1,r,口) (1.6.1)(1.6.2) Dn,(u‘2卅,upl)=(gk+l":+1)+(严1,u1),Vupl%.(1.6.3) 硕士学位论文PN+1+2,…,P+l+2是Fo上的2个节点,则函数:+1’‘2”+1’在空间魄中 的有限元插值函数可以表示为 从而(1.6.3)司得如F线性方程组:MDn。(%,妒。)蝣+1“m=(91,妒。)+(产+1,妒。),m=1,2,…,M.(1.6.4) 在求解(1.6.4)之前必须进行约束处理,即将(1.6.4)的前面的N个url’(n’0=1,2,…,)按下式进行替换: 方程组(1.6.4)可以用最速下降法求解.在计算p计1(P1),卢舛1(岛),…,]2n+1(P)时,将上一步求出的有限元解 u譬11(2n+1’限制在F2上,利用(1.6.2)求解出u譬1,(2叶2’(r,口).令r=R。,再分别 数值积分可用复化Simpson公式求解.1.7数值例子 下面给出问题(1.1.1)的数值算例.考虑如下圆外区域问题,取Q是以原点 为圆心,R为半径的圆外部区域,边界Fo一{(t臼)I r=R,臼f0,2丌])-且取 百7r8in丌r] Jg(x,t)=一e一“cos(7rr),Uo(X)=三cos(7rr),vo(x)=一告cos(7r7.),其中r=、压i+z;.对应问题的精确解为u(z,£)=e“‘cos(7rr). 对于上面的区域Q,引入以原点为圆,5-,半径分别为R,和疡的圆周作为 人工边界111及r2,满足R<R2<R1,将区间【0,27r]进行等分,相应的在圆 周ro,r1上各有个等分点,让Q。剖分节点与边界ro,r 上的节点重合,连 接Fo,F。上对应的节点,得到条径向线段,再将这些径向线段m等分得到 其余节点,最后由这些节点得到Q,上的一个三角形剖分单元Q,^. 记离散算法的迭代解与精确解在节点上的最大误差为e(n)=sup lu(只)一 只{21h u孙(只)I,前后两步的迭代解在节点上的最大误差为eh(n)=sup lu苗1(只)一 第一章 重叠型区域分解法 u孙(只)l,并用g^模拟收敛速度,即吼(n)=塑等盂产. 例1.7.1为了得到收敛速度与网格的关系,取R=1,人工边界取R2=2, R1=4.6,再分别取N=8,m=3;N=16,m=6;N=32,m=12;并分别用 h,h/2,h/4表示这三套网格,数值计算结果如表1.7.1和图1.7.1所示. 表1.7.1.收敛速度与网格的关系 网格 n123459e1.4058E一1 1.4027pl 1.4004p1 1.3935E-1 1.3790E_1 1.3578E l^eh 2.7098Dl 7.7825E广_2 1.2391E一2 1.9675E一3 3.1239E-3 qh 3.4819 6.2802 6.2978 6.2982 e8.3692E一2 8.3047E-2 8.2642E卜2 8.1377E一2 8.1264E卜2 8.0567E,2 eh2.5036p1 6.9541E一2 1.0866E一2 1.7246E,3 2.7379E,4 qh 3.6003 6.3998 6.3006 6.2990 e6.7513E产2 6。5135E一2 6。371 1E,2 6,3560E一2 6.3467E-2 6.0631E,2 hi4 eh 1.9148E一1 5.2971E一2 8.3725E一2 1.3248E,3 2.1181E一4 qh 3.6149 6.3271 6.3198 6.2550 CF图1.7.1收敛速度与网格的关系 14 硕士学位论文例1.7.2为了得到收敛速度与重叠程度的关系,取R=1,人工边界取 R2=2,R1=4,6,8,使得Ql与Q2的重叠区域越来越大,在h/2网格上进行计 算,数值结果如表1.7.2和图1.7.2所示. 表1.7.2收敛速度与重叠程度的关系 n123459e1.8797E一11.8236E,1 1.7939E一1 1.7693E—l 1.7248E-1 1.5908E-1 46h 8.8331E一2 2.5159E一2 7.5901E广_3 2.3775E卜3 78426E卜4 qh 3.5110 3.3147 3.1925 3.0315 e1.6399B-1 i5920E一1 1.5482E一1 1.4857弘1 I.4426E广1 1.4319E.1 6eh 6.7735E,2 6.0925B_3 5.9077E~4 7.4308E卜5 1.1258E 5qh 11.1178 10.3128 7.9503 6.6005 e1.3935E广-l 1.392081 1.3919E厂1 1,3917P1 1.3878E 11.3867E一1 8eh 4.3780E,2 2.2580E3 1.3824E-4 9.2833E卜6 7.8006E卜7 qh 19.3885 16.3342 14.8913 11.9007 iterations图1.7.2收敛速度与重叠程度的关系 表1.7.1显示迭代序列是几何收敛的.从图1.7.1可以看出,迭代收敛速度 基本与网格参数h无关.从表1.7.2和图1.7.2可以看出,两子区域重叠程度越 高,迭代收敛速度越快. 硕士学位论文 2014年2月 第二章 非重叠型区域分解法 2.I D-N交替算法 本章研究无界区域上Klein-Gordon方程的问题(1.1.1)基于自然边界归化 的D—N交替算法.我们将分别给出这一算法的连续情形和离散情形,并进行了 迭代分析,给出数值算例以验证算法的可行性和有效性. 由第一章可知,问题(1.1.1)对时间离散化 后,在每个时间层上只需要求解问题(1.2.10). 为内子区域Q1和外子区域Q2,Q1和Q2不重i110’’' j叠(参考图2.1.1). 10)构造如下P—N交替算法;图2.1v1 步1选取初始值po日(F1),并置n=0. 步2在k+1层上,求解Q2上问题: fu一入2u2k+1“呐;入2f~k“, 霉Q2, {让:+1,(”)=pn, zF1, (2.1.1) Il牡1l<+00, lzl一+。。. 步3在k+1层上,求解Ql上问题: ft‘:+1,(…一芹锰;+1,加)=入2尹+1, zQ1, zr1,(2.1.2)n 、anl I}t9k+l(n)--ok+l zr0. 这里,步2为求解圆外区域的Dirichlet问题,而步3仅需要:+1牌’在r1上的法向导数值,故我们不必求解(2.1.1),只需要利用自然积分方程(1.3.2)直 15 16 硕士学位论文接由矿求出塑豢#即可 =J肛”(R1,口)一—(A,R1;,菇+1,p)用D1( )分别表示Q1和Q2上的双线性形式.问题于如下变分问题:求u‘十1H1(Q1),使得 D1(“南+1,"七+1)+西2(“k+1,”七十1)竺穴"南+1), VVk+1H1(Q1). 其中 ,D1 Uk+l"抖1)=/(Vu1-吼蚪1+A2u蚪1u1)dz, (2.1.3) (1.2.10)等价 (2.1.4) vk+1)-_安娶粼Z,Z乙8n(%‰一1洮氕矿“)=/gk+1矿“ds一/A2声+l口抖1dx+/(A,R1;严+1,O)v蚪1ds. Jro Jfh Jrl前述步3等价于如下变分问题:求url’m’H1(Q1),使得 ’D1(u’‘…,vk+1)=氕"州)一D2(u‘…,uM),V uMH1(Q1). 易知DI( )是H1(Q1)xH1(Q1)上对称、正定,强制的双线)上对称、强制、有界的双线、离散的D-N交替算法 将区间[0,2丌1分成等份,相应的在圆周I、-上有个等分点.在对区域 Q1进行有限元剖分时,使得边界上工1-的等分点与Q1上相应的节点一致.假设 区域Q。和内边界ro上分别有1和2个节点.设sh(Q-)C H1(Q1)为选取适 当的基函数所张成的日1(Q1)的有限元子空间.于是,问题(2.1.4)的离散化形式 为:求u妒1Sh(n1),使得 D。(url,u2+1)+西。(upl,upl)=氕upl),V (2.2.1)设{忱(z))=1+2为品(Q。)节点的基函数,则问题(2.2.1)对应的线+B lQn oL]_『 (2.2.2) ““眦QQQ第二章 非重叠型区域分解法 .17 其中阱“、时+1、瞄+1分别为ri上节点、Q。内部节点与Fo上节点函数值 fQll 1形成的向量.矩阵Q=JQil(瓦Qo J为Q1上有限元得到的刚度矩阵, loQot Qoo JB为r1上自然边界元得到的刚度矩阵, bl=/(A,Rl;产+1,p)仇(x)cls,JFl b2=一/入2产1钮(x)dx,Fo=hl仇(w)ds. JIzl JI’0 将(2.2.2)改写成 Qll Qil O作如下迭代 Q11 Ql 0Q1i QoiQ1i 0QQoo 0‰Q00 嘴+1 璐+1bl—BUt+1 62 Fo b1一BA” Fo(2.2.3) (2.2.4) 及A“+1=曰。嘴+1'@’+(1一口。)A“. (2.2.5) 显然,线)的系数矩阵Q是对称正定的带状稀疏矩阵,而线)的系数矩阵为局部满秩,更重要的是在每一个时间层上,线)的系数矩阵Q保持不变,仅仅右端列向量改变.因此,在每一时 间层上,矩阵Q仅需生成一次即可. 2、迭代求解分析 由式(2.2.2),利用分块矩阵的初等行变换可得 m6)=bl—Q1i(Q“一QtoQodQ优)一上(62一QioQ暑Fo), Fo=b1一Qli(Q西一Q。oQ001Qoi)一。(b2~Q;oQJFo),s}’=Q11一Q1l(Q祝一Q。oQ001Q饥)一1Q小 sh=s擘’+B, HHH嘴磷瞄18 硕士学位论文则(2.2.6)为 Shu;“=丽. 其中Sh为rl上的Steklov-Poincare算子的离散形式. (2.2.7) 定理2.2.1离散的D—N交替法(2.2.4)一(2.2.5)与如下的预处理Richardson 迭代法等价: 由(2.2.5)可得An+1一A“=如(啦+1,(…一A”), 从而 s}’(A”+1一As)=口。s21’(衅+1’‘…一A”) :口。【s0’(嘴+1’‘…一嘴+1)+|s£1’(U;+1一A“)】 =On(B+s}’)(u?+1一A“) =臼。(再一shA“).定理2.2.2离散的D—N交替法(2.2.4)一(2.2.5)的迭代矩阵(sP’)一1瓯的条 件数与有限元网格参数h无关. 证明参考文献[15】中的方法可证 定理2.2 3当0<。mNin+靠翼紧如<1时,离散D—N交替法(2 (2.2.5)收敛.第二章 非重叠型区域分解法 证明由(2.2.7),(2.2.8)司得 U+1一A“+1=[,一p。(s0’)1sh】(嘴+1一A“) =【『一靠(s0’)一151^J”+1(U+1一Ao). 用IIz表示矩阵的谱范数或向量的2范数,则有 ff嘴+1一A-+Ilf2jn+lfl游+1一Aoff2j 其中 d=111~以(s£’)一1sh怯 又由定理2.2.2知(s譬’)~Sh的特征值均在【1,2】中,于是 6=marx{i—rain maX0。一l}<1.nEN+hEN+ 。由此便得 lim 上式表明预处理Richardson迭代法(2.2.8)收敛,从而离散D—N交替算法(2.2.4)(2.2.5)收敛. 2.3数值例子 下面给出问题(1.1.1)的数值算例.设Q是以原点为圆心的外单位圆,且取 9(x,t)=一e一“cos(7rT),Uo(X)=三cos(丌r),vo(x)=一詈cos(7rr),其中r=~知i-I-z;.对应问题的精确解为u(z,£)=ilel‘cos(7rr). 对于外区域Q,引入人工边界r1为以原点为圆心,Rl为半径的圆周,将Q 分为两个子区域Q1和Q2,将区间[o,2丌]进行等分,相应的在圆周r0,r1上 各有个等分点,让Ql剖分节点与边界ro,r1上的节点重合,连接ro,r1上 对应的节点,得到条径向线段,再将这些径向线段m等分得其余节点,最后 由这些节点得到Q。上的一个三角形剖分单元, 记离散算法的迭代解与精确解在节点上的最大误差为e(n)=sup lu(只)一 只Q1^ “孔(只)l,前后两步的迭代解在节点上的最大误差为eh(n)=sup Iu苗1(只)一 ,.、Pejlh 孔(只)I,并用qh模拟收敛速度,即冁唧)=垒窦高产.

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