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无界区域上基于自然边界归化的区域分解算法摘要科学和工程中的许

归档日期:08-18       文本归类:域分解      文章编辑:爱尚语录

  无界区域上基于自然边界归化的区域分解算法摘要科学和工程中的许多问题都可以归结为偏微分方程的求解问题通常这些问题的指定区域都是没有边界的 于是研究无界区域上的求解算法就显得尤为重要。在这些求解算法中比较突出并且用途广泛而且较新的就要数区域分解算法 但是对于求解无界区域上边值问题 由于该类问题的特殊性和

  无界区域上基于自然边界归化的区域分解算法摘要科学和工程中的许多问题都可以归结为偏微分方程的求解问题通常这些问题的指定区域都是没有边界的 于是研究无界区域上的求解算法就显得尤为重要。在这些求解算法中比较突出并且用途广泛而且较新的就要数区域分解算法 但是对于求解无界区域上边值问题 由于该类问题的特殊性和存在的难度使得我们仅仅依靠区域分解算法是无法得到满意的结果的。于是 人们借助于自然边界归化原理 尝试加入人工边界 通过引入典型的人工边界 将原无界区域分解成为一个很小的有界区域和一个带典型边界的无界区域 于是在该有界区域上可用标准的有限元方法求解 在无界区域上可应用自然边界归化原理直接求解。这样就减少了求解规模并且可以进行并行计算。本文基于自然边界归化原理 以二维双调和外问题为例 提出研究了带典型人工边界的非重叠型区域分解算法和并行的重叠型区域分解算法。对于非重叠型区域分解算法 构造其算法并讨论相应的离散化问题的收敛性 证明算法收敛速度与有限元网格参数无关 适当选取松弛因子 算法是几何收敛的 最后总结了该种算法的一些特点 说明用该方法求解无界区域问题是十分有效的。对于并行的重叠型区域分解算法 构造了算法并讨论了其收敛性 然后给出了该种算法的离散化形式及其有限元处理方法 最后总结了该算法的一些优越性 说明对求解大型问题该种方法非常有效。关键词 无界区域 自然边界归化 人工边界 非重叠型区域分解法 重叠型区域分解算法 致谢时间过的真快两年半的研究生生涯即将画上句号 在这即将毕业的时刻 我首先要感谢的是我的导师王寿城王老师 感谢王老师对我在研究生期间的悉心指导和无微不至的关怀。在这两年半中 王老师的严谨的治学态度 渊博的学术知识 对待学术的钻研和一丝不苟 这些无论是在以后的生活还是工作中 对我来说应该是终身受益的。其次 我要感谢的是合肥工业大学的校领导和数学学院的院领导 感谢他们为我们创造了宽松、舒适的学习和生活环境 同时我还要感谢数学学院的所有老师 还有很多辛勤工作的园丁们 感谢他们在学习和生活上给予了我殷切的关怀。然后 我要感谢的是研究生院 班计算数学的所有同学在这样一个特殊的大家庭中我感受到了温暖 感谢你们陪伴着我走过了这两年半。最后 我要感谢的是我的爸爸妈妈 正是有了你们这二十多年来对我辛勤的哺育和培养 对我的支持 我才能顺利的完成二十多年的求学之路。作者 日第一章绪论区域分解算法概论在现实生活中 无界区域问题有着非常广泛的科学和工程的应用背景 电磁波、声波的辐射大型水利设施的建筑 薄板弯曲问题等等 而求解这些问题所建立的数学模型大都可以归结为建立大范围的高维的偏微分方程 或偏微分方程组 所以求解这些问题就演变为求解大范围的高维的偏微分方程 或偏微分方程组 而通常这些问题的求解都是在无界区域上进行的。于是 关于在无界区域上如何求解偏微分方程 或偏微分方程组 成为科学计算的核心。实践中发现 上述这些问题的求解计算规模非常庞大 为此在原先只借助于计算机硬件来解决这些问题现在已经是远远达不到要求了。近几年来 随着高性能的并行计算机的问世与快速发展 研究适合于并行机上运行的高效率的计算方法已经成为解决这些问题的核心。为此 一类被称之为区域分解算法 的偏微分方程数值解的新算法应运而生 并越来越受到人们的重视 年之前关于该课题的研究仅在少量的国际数值计算核心杂志上出现但在 年期间对该课题的研究有呈直线上升的趋势 并且在此期间许多有影响力的数学家也加入到对该课题的研究行列中。从 年开始至今每年都会召开一次关于这一课题研究的国际学术性会议。为此 对该课题的研究已成为当今计算数学领域的热门之一。区域分解算法的原始思想来源于经典的 交替法 它是由德国数学家 提出的 但是起初 的本意是借用交替算法论证某些非规则区域椭圆型方程解的存在唯一性 当时并没有引起特别的注意 该算法的真正崛起是在 世纪 年代 特别是法国数学家 巧妙地把 方法与投影方法联系起来 从而大大简化了该法的收敛分析。直到近几年以来 并行计算机的快速发展 我们在解决大型的科学和工程领域上的问题时 需要提高计算能力 而计算能力的提高在很大部分上要依赖于计算方法 从而区域分解算法正是在这种背景下得到了极大的发展。所谓区域分解算法 就是把计算区域 分解为若干个子域 这些子域的形状要求尽可能规则 从而原问题在区域 上的求解将会 被转化为在分解后的子域 。上的求解。自然边界归化原理概论在遇到求解科学和工程领域的某些有界区域问题时 我们利用有限元方法及其区域上的区域分解算法是十分有效的。但是对于遇到求解某些无界性区域边值问题时 利用有限元法就会碰到困难 因为有限个有限面积的单元或有限个有限体积的单元是永远无法达到覆盖无限大的区域的效果的 为了解决这一难题 世纪 年代 边界元方法应运而生。早在 世纪就已经出现并提出对偏微分方程作边界归化处理的思想了 等人的著作中已有许多系统的理论成果但是真正将边界归化理论应用于数值计算 并为了数值计算的目的而深入研究边界归化理论却是从 世纪 年代才开始的。直到 世纪 年代后期 我国数学家冯康教授、余德浩教授等以及国外的 等人对该方法的发展和推广都做了大量的工作。世纪 年代 我国学者冯康院士应法国国家科学研究中心及意大利国家科学院邀请赴法、意讲学。冯院士首次提出了一种全新的边界归化方式——正则边界归化 ’。由于该种边界归化将会保持能量不变 于是原边值问题解的存在唯一性及稳定性等结果也就很容易得到了。在此之后冯院士又将正则边界归化改称为自然边界归化 并且这种称法一直沿用至今。自然边界归化应用 函数和 公式将偏微分方程边值问题转化为边界上的超奇异积分方程。基于自然边界归化原理 并且随着二维区域上的超奇异积分问题得到了解决 这就极大的发展了自然边界元方法。到 世纪 年代中期 自然边界元方法在二维领域中已经取得了巨大的成果一 其中以余德浩教授的专著钏的出版标志该种方法已经趋于成熟。之后 又有关于二维、三维 方程边值问题的自然边界元方法研究 “…。自然边界元方法具有其明显的优越性 因为只有自然边界元与有限元的耦合的方法是基于同一变分原理的自然而直接的耦合的方法 。这种综合了自然边界元与有限元方法的优点同时很大程度上克服自然边界元方法对区域要求的局限性的方法 研究表明它也完全适合于有限元方法下的进一步发展。 预备基础知识以下是一些有关 空间的一些定义和定理‘ ”是一个有界或无界 是定义在上的实可测函数。对于 也是上的可测函数 则积分 出是有意义的当然也可能是无界的 对于定义厂 力的范数 如下 那么是一个 空间。定义 中的函数厂在 中整体连续是指对于 之外令厂命题 空间的重要性质 在有界域 内属于 的函数厂在 内整体连续。证明见 定义 上每一个厂对对应着唯一的一个数矽 一般地定义在向量空间 上的数值函数三叫做空间 上的泛函。泛函可以相加、相减和与常数相乘 泛函巧称为上的线性泛函 如果它具有性质 其中口是任意常数。泛函巧称为是连续的 如果当 五一厂 泛函矽称为是有界的如果存在常数 使得 对任何厂都成立。命题对于 空间上的任一线性泛函 连续性与有界性是等价的。证明见 定义空间上所有线性连续泛函的全体所组成的空问称为 空间的对偶空间 记为 是一个线性赋范空间上的所有线性连续泛函的全体按范数 所组成的空间称为 的对偶空间或共轭空间 记为 这里表示 上的线性连续泛函 称为 的对偶积。注意记号不同于内积记号 定义 如果有界开集 又定义上的局部可积函数空间 为非负整数集若对任意矽 有等式 定义对于 其中。“表示”的口阶弱导数。对于 赋以范数称为 空间。如果对的任何子集 记为如果 即日全形哪 是内积空间因为可以引入内积为 这里表示厂的共轭。定理 空间完备的线性赋范空间 。证明见【 定理 是可分的。证明见定理 不等式记号 咖表示甜在上的平均 其中 表示区域 的体积 测度 成立。证明见定义 称函数一二 变换其中 是非负实数则定义 空间日 的定义与前面定义一致。定理迹定理 中函数“在上的迹。证明见 定理 则可以定义“在矗上的迹川且存在常数 使得

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